Мищенко Е.Ф., Колесов Ю.С., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярных возмущенных системах

Монография. — М.: Физматлит, 1995. — 336 с. — ISBN 5-02-015129-7.Посвящена изучению сингулярно-возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и параболических уравнений с частными производными. В многомерном случае получена полная асимптотика релаксационных колебаний, до конца решены проблемы существования и единственности. Рассмотрены также многие другие вопросы: траектории-утки, нормальные формы отражений в окрестности релаксационного цикла, задачи о бифуркациях инвариантных торов, релаксационные колебания в среде с диффузией, неклассические релаксационные колебания в среде с диффузией, неклассические релаксационные колебания, автоволновые процессы в сингулярно возмущенных системах типа реакция-диффузия и т.д.
Для научных работников (математиков, механиков, физиков), а также для студентов и аспирантов математических специальностей.Предисловие.
Введение. Релаксационные колебания.
Регулярная зависимость решений от параметра.
Релаксационные решения второго порядка.
Релаксационные решения произвольного порядка.
Теорема о C¹-близости решений релаксационной и релейной систем и асимптотика релаксационных колебаний.
Постановка задачи, предварительные сведения и эвристические соображения.
Доказательство теоремы о C¹-близости.
Принцип сведения в окрестности точки срыва.
Асимптотика релаксационных колебаний в окрестности точки срыва.
Единственность, асимптотика и устойчивость релаксационного цикла.
Стохастический характер поведения траекторий в трехмерных релаксационных системах.
Задача Понтрягина о торах сингулярно возмущенных систем.
Устойчивые релаксационные торы в трехмерных системах.
Релаксационные колебания в среде с диффузией.
Об одном классе параболических релейных систем.
Теоремы о C¹-близости для релаксационных параболических систем.
Критерий устойчивости однородного релаксационного цикла.
Анализ некоторых математических моделей биофизики.
Структура окрестности релаксационного цикла.
Нормальная форма отображения.
Внутренний резонанс при потере устойчивости цикла релейной системы.
Бифуркации релаксационного цикла.
Траектории-утки релаксационных систем.
Возникновение траекторий-уток при нарушении нормального переключения.
Разрушение инвариантного тора системы Ван-дер-Поля с внешней силой.
Явление затягивания Понтрягина и устойчивые циклы-утки.
Неустойчивость циклов-уток многомерных релаксационных систем.
Неклассические релаксационные автоколебания.
Системы типа Лотки-Вольтерра.
Релаксационные циклы систем типа Лотки-Вольтерра.
Построение полной асимптотики траекторий.
Многомерные системы типа Лотки-Вольтерра.
Новый тип релаксационных колебаний.
Автоволновые процессы в сингулярно возмущенных процессах типа реакция-диффузия.
Экспоненциальная дихотомия решений линейных параболических уравнений.
Оценка ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений.
Устойчивость решений линейных параболических уравнений.
Бифуркация инвариантных торов параболических систем с малой диффузией.
Приложения бифуркационных теорем.
Диффузионный хаос.
Динамика систем с крайней точкой поворота.
Литература.