Колотий А.Д. Дифференциальные уравнения, 3 семестр

КубГУ, 2 курс, 3-ий семестр, 2010.
Преподаватель: Колотий А. Д.
Отсканированные рукописные лекции по предмету - «Дифференциальные уравнения».Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения первого порядка (с разделяющимися переменными, однородные уравнения, уравнения в полных дифференциалах, интегрирующий множитель).
Линейные уравнения 1-го порядка.
Лемма Гронуолла — Беллмана.
Теорема о существовании и единственности решения (Пикара) для одного дифференциального уравнения.
Определение непродолжаемого решения. Теорема о непродолжаемых решениях (без док-ва). Теорема Пеано (без док-ва). Теорема о гладкости решения дифференциального уравнения.
Теорема Пикара для систем.
Теорема о существовании и единственности для линейных систем.
Свойства решений линейных однородных систем (теоремы 1 — 3).
Свойства решений линейных однородных систем (теоремы 4 — 5).
Теорема Лиувилля для линейных систем.
Фундаментальная матрица и её свойства.
Линейные неоднородные системы. Утверждение и следствие. Метод вариации произвольных постоянных.
Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка. Эквивалентность уравнения n-ого порядка и системы. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения n-ого порядка.
Свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений n-ого порядка (теоремы 1 — 3).
Свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений n-ого порядка (теоремы 4 — 5).
Теорема Лиувилля. Понижение порядка линейного однородного уравнения.
Метод вариации произвольных постоянных для неоднородного уравнения n-ого порядка.
Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами, случай простых характеристических чисел. Построение общего вещественного решения.
Лемма о линейной независимости функций вида y_m,k = x^kе^{λ[sub]m[/sub]x}, где λ_m - все различные характеристические числа, индексы k пробегают числа от 0 до n_m - кратность m-го характеристического числа.
Линейные уравнения с постоянными коэффициентами, случай кратных характеристических чисел.
Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Поиск частного решения в нерезонансном случае.
Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Поиск частного решения в резонансном случае.
Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Поиск частного решения в вещественном случае.
Свойства нулей решения дифференциальных уравнений. Леммы 1 — 2.
Следствие.
Теорема сравнения Штурма. Замечания.
Следствия 1 — 4.
Зависимость решения от начальных значений и параметров. Лемма Адамара.
Теорема о непрерывной зависимости и дифференцируемости решений от параметров.
Следствие из теоремы о непрерывной зависимости и дифференцируемости решений. Получение задач для производных по параметру и начальным условиям.
Решение линейных дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.