Просветов Г.И. Математический анализ. Задачи и решения

Учебно-практическое пособие. 4-е изд., перераб. — М.: Альфа-Пресс, 2018. — 274 с. — ISBN 978-5-94280-689-7.В учебно-практическом пособии рассмотрены основные методы и приемы математического анализа. Приведенные в учебном материале примеры и задачи позволяют успешно овладеть знаниями по изучаемой дисциплине.Пособие содержит программу курса, задачи для самостоятельного решения с ответами и задачи для контрольной работы. Издание рассчитано на преподавателей и студентов высших учебных заведений.Содержание:
Предисловие
Множество
Функция
Постоянные и переменные величины
Понятие функции
Способы задания функции
Элементы поведения функции
Сложная функция
Линейная интерполяция
Дробно-линейная функция
Квадратичная функция
Рациональная функция
Преобразование графиков
Показательная функция
Логарифмическая функция
Взаимно-обратные функции
Окружность
Тригонометрические функции
Обратные тригонометрические функции
Элементарные функции
Последовательность
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия
Предел последовательности
Монотонные последовательности
Ограниченная последовательность
Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности
Критерий Коши
Предел функции
Теоремы о пределах
Раскрытие неопределенностей
Замечательные пределы
Односторонние пределы
Сравнение функций
Непрерывность
Непрерывность функции в точке
Точки разрыва
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Асимптоты
Вертикальные асимптоты
Наклонные и горизонтальные асимптоты
Производная
Приращения аргумента и функции
Понятие производной
Правила дифференцирования
Первая таблица производных
Производная сложной функции. Вторая таблица производных
Производные высших порядков
Основные теоремы дифференциального исчисления
Правило Лопиталя
Уравнение касательной. Геометрический смысл производной
Дифференциал
Применение дифференциала в приближенных вычислениях
Возрастание и убывание функции. Локальные экстремумы
Выпуклость вверх и вниз. Точки перегиба
Исследование функций и построение графиков
Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке
Формула Тейлора
Производные функции, заданной параметрически
Неявная функция
Функции многих переменных
Поверхности уровня
Предел и непрерывность
Частные приращения
Частные производные
Градиент
Дифференциал первого порядка
Применение дифференциала первого порядка в приближенных вычислениях
Производная по направлению
Производная сложной функции
Частные производные высших порядков
Дифференциал второго порядка
Безусловные экстремумы функции двух переменных
Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области
Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Неопределенный интеграл
Первообразная и неопределенный интеграл
Основные свойства неопределенного интеграла
Таблица интегралов
Непосредственное интегрирование
Интегрирование по частям в неопределенном интеграле
Замена переменной в неопределенном интеграле
Понятие о неберущихся интегралах
Интегрирование рациональных функций
Метод Остроградского
Интегрирование тригонометрических функций
Интегрирование дифференциального бинома
Интегрирование иррациональных функций
Определенный интеграл
Свойства определенного интеграла
Формула Ньютона—Лейбница
Геометрический смысл определенного интеграла
Интегрирование по частям в определенном интеграле
Замена переменной в определенном интеграле
Геометрические приложения определенного интеграла
Площадь плоской фигуры
Длина кривой
Объем тела вращения
Площадь поверхности вращения
Несобственные интегралы
Несобственные интегралы первого рода
Несобственные интегралы второго рода
Двойные интегралы
Определение двойного интеграла
Сведение двойного интеграла к повторному интегралу
Замена переменных в двойном интеграле
Вычисление площадей и объемов с помощью двойного интеграла
Тройные интегралы
Определение тройного интеграла
Сведение тройного интеграла к повторным интегралам
Замена переменных в тройном интеграле
Вычисление объема с помощью тройного интеграла
Криволинейные интегралы первого рода
Определение криволинейного интеграла первого рода
Вычисление криволинейного интеграла первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Определение криволинейного интеграла второго рода
Вычисление криволинейного интеграла второго рода
Формула Грина
Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
Поверхностные интегралы первого рода
Поверхность
Определение поверхностного интеграла первого рода
Вычисление поверхностного интеграла первого рода
Поверхностные интегралы второго рода
Определение поверхностного интеграла второго рода
Вычисление поверхностного интеграла второго рода
Формула Стокса
Формула Гаусса—Остроградского
Дивергенция. Ротор. Оператор Гамильтона
Дивергенция
Ротор
Оператор Гамильтона
Основные сведения о дифференциальных уравнениях
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнения, приводящиеся к однородным
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение Бернулли
Решение дифференциальных уравнений с помощью нахождения интегрирующего множителя
Метод введения параметра
Уравнения Лагранжа и Клеро
Понижение порядка дифференциального уравнения
Понижение порядка дифференциального уравнения, которое не содержит искомой функции
Понижение порядка дифференциального уравнения, которое не содержит независимой переменной
Понижение порядка дифференциального уравнения, однородного относительно искомой функции и ее производных
Понижение порядка дифференциального уравнения, однородного относительно некоторых степеней независимой переменной и искомой функции
Понижение порядка дифференциального уравнения приведением обеих частей уравнения к полной производной
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Уравнение Эйлера
Решение линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами с помощью подбора частного решения
Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, приведенные к нормальному виду
Метод исключения неизвестных
Метод собственных векторов
Системы дифференциальных уравнений, не приведенные к нормальному виду
Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений
Свойства решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами
Устойчивость
Устойчивость по первому приближению
Особые точки
Узел
Седло
Фокус
Центр
Вырожденный и дикритический узлы
Общий случай
Нелинейные системы дифференциальных уравнений
Первые интегралы
Интегрируемые комбинации
Уравнения в частных производных первого порядка
Ряды
Виды рядов
Сходящиеся и расходящиеся ряды
Необходимый признак сходимости
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Ряды с неотрицательными членами
Знакопеременные ряды
Абсолютная и условная сходимость ряда
Счетные множества
Метрическое пространство
Определение метрического пространства
Сходимость в метрическом пространстве
Изоморфизм метрических пространств
Полнота метрического пространства
Открытые и замкнутые множества
Открытые множества
Замкнутые множества
Замыкание
Связность
Определение связности
Связность отрезка
Связные множества на числовой прямой
Компактность
Покрытие
Определение компактности
Свойства компактных множеств
Предел отображения метрических пространств
Непрерывность отображения метрических пространств в точке
Непрерывные отображения
Законы сохранения
Равномерная непрерывность
Собственные интегралы, зависящие от параметра
Несобственные интегралы, зависящие от параметра
Эйлеровы интегралы
Гамма-функция
Бета-функция
Ответы
Программа учебного курса «Математический анализ»
Задачи для контрольной работы по курсу «Математический анализ»
Литература