Розендорн Э.Р., Соболева Е.С., Фатеева Г.М. Уравнения с частными производными

Учебник для вузов. — 2-е изд., стереотип. — Под ред. Э.Р. Розендорна. — М.: Физматлит, 2017. — 336 с. — ISBN 978-5-9221-1756-2.Теория уравнений с частными производными изложена в объеме, соответствующем программам математики для естественных факультетов университетов (кроме физических специальностей, у которых программа математики обширнее). Изложение сопровождается разнообразными примерами. Книга предназначена студентам естественных факультетов.Предисловие.
Уравнения с частными производными первого порядка.
Линейные уравнения. Характеристики.
Квазилинейные уравнения.
Задача Коши.
Линейные и нелинейные волны.Начальные сведения из функционального анализа.
Бесконечномерные линейные пространства.
Ортогональные системы функций и ряды Фурье.
Коэффициенты Фурье и неравенство Бесселя.Тригонометрические ряды Фурье.
Разложение функций в ряд Фурье по тригонометрической системе.
Ряды Фурье периодических функций. Комплексная форма рядов Фурье.
Явление Гиббса.Метод Фурье.
Основные уравнения математической физики.
Постановка краевых задач.
Сущность метода Фурье на примере первой краевой задачи для уравнения теплопроводности.
Краевая задача для волнового уравнения.
Задача Дирихле в прямоугольнике.
Краевая задача для одномерного уравнения диффузии с условием Неймана на одном из концов.
Метод Фурье для неоднородного уравнения.
Задача Дирихле в круге. Интеграл Пуассона.
Примеры применения метода Фурье.Классификация уравнений.
Типы уравнений.
Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.
Корректная постановка задач.
Корректные краевые задачи для волнового уравнения.
Корректные задачи для уравнения теплопроводности.
Задача без начальных условий для уравнения теплопроводности. Температурные волны.Начальные сведения о сеточных методах.
Основные понятия. Явная и неявная схемы для уравнения теплопроводности (первая краевая задача).
Задача Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона в прямоугольной области.Свойства гармонических функций. Функция Грина задачи Дирихле.
Формулы Грина.
Интегральное представление гармонических функций.
Основные свойства гармонических функций.
Внешняя задача Дирихле. Теорема единственности.
Функция Грина для задачи Дирихле уравнения Лапласа.
Функция Грина для шара, круга и полупространства.
Объемный потенциал.
Восстановление векторного поля по его дивергенции и ротору.Преобразования Фурье и Лапласа.
Интегральные преобразования.
Интегральная формула Фурье.
Преобразование Лапласа.
Резонанс при наличии сопротивления.Примеры приложений уравнений с частными производными в различных естественно-научных задачах.
Одномерные уравнения колебаний.
Вывод уравнения, описывающего процесс сорбции газа.
Течение воды в канале.
Задача Штурма–Лиувилля о собственных значениях. Некоторые свойства собственных значений и собственных функций.
Цилиндрические функции.
Сферические функции. Задача Дирихле для шара и для шарового слоя.
Стоячие волны на круглой мембране.
Стационарная диффузия в полубесконечной цилиндрической трубке.
Уравнения гидродинамики и звуковых волн. Гравитационные волны в гидродинамике.
Уравнение краткосрочного прогноза погоды.
Расчет потенциала ионной атмосферы, ее радиуса и ионной силы в теории Дебая–Хюккеля.
Уравнение Шрёдингера.
О применении обобщенного метода разделения переменных.
В нелинейных задачах.
Контрольные вопросы по главам.
Заключение.
Список литературы.
Предметный указатель.