Самойленко М.В. Матрично-итерационный метод решения системы линейных уравнений и его применение в томографическом сканировании пространства с использованием радиолокационной станции

Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. — 2018. — том 18. — № 3. — с. 437-446.Предложен новый метод решения системы линейных алгебраических уравнений, названный матрично-итерационным. Метод получен при анализе решения задачи томографического сканирования пространства и является одним из методов многоканальной томографии, которую разрабатывает автор. Практически все методы многоканальной томографии сводятся к восстановлению искомого распределения некоторой физической величины с помощью решения системы линейных алгебраических уравнений, часто недоопределенной. Искомое распределение представляется вектором-оригиналом. В томографическом сканировании восстанавливается распределение мощностей точечных источников излучения по сектору обзора. Эта задача диктует определенные априорные данные, которые позволили разработать новый метод решения системы линейных уравнений: большинство компонент искомого вектора равны фоновому значению, например нулевому, а бо́льшие значения представляют собой -образные разреженные выбросы. Получающееся в рассматриваемой задаче векторно-матричное уравнение, идентичное системе уравнений, является недоопределенным и часто включает матрицу неполного ранга или плохо обусловленную матрицу. В отличие от известных методов решения такого уравнения при частичной априорной информации о восстанавливаемом векторе, матрично-итерационный метод не предполагает никакого его преобразования, предшествующего решению. Этот метод прост в реализации и не содержит таких неоднозначных величин, как, например, параметр регуляризации. По сути своей – это программный метод, достаточно просто реализуемый. Альтернативным вариантом решения системы уравнений без предварительного ее преобразования является метод псевдообращения, для реализации которого априорная информация вообще не нужна и который дает либо решение с минимальной нормой (если система совместна), либо решение, обеспечивающее минимальное квадратическое отклонение. Этот метод послужил основой матрично-итерационного метода, являясь, в частности, первой его итерацией. На последующих итерациях из матрицы системы исключаются столбцы, соответствующие тем значениям решения, получившегося на предыдущей итерации, которые выявляются как фоновые. Повторяется процесс псевдообратных решений с изменяющейся матрицей до тех пор, пока все получившиеся значения не окажутся превышающими фоновый уровень. Матрично-итерационный метод позволяет получить практически точное решение в случае, если вектор-оригинал входит в бесчисленное множество решений системы уравнений. Если же вектор-оригинал, из-за отклонений параметров задачи, не входит в число решений, то и в этом случае матрично-итерационный метод дает достаточно хороший результат, что позволяет говорить о его устойчивостиВведение
Постановка задачи
Анализ задачи
Матрично-итерационный метод
Применение в томографическом сканировании
Истинное распределение мощностей источников по направлениям и сканирование сектора обзора лучом антенны
Измеренная мощность на выходе антенны при разных направлениях оси ее диаграммы направленности
Восстановленный вектор-оригинал: методом псевдообращения; матрично-итерационным методом
Итерации реализации матрично-итерационного метода решения уравнения в задаче томографического сканирования
Восстановление вектора-оригинала, не являющегося точным решением системы уравнений, методом псевдообращения и матрично-итерационным методом
Заключение
Литература
Авторы