Умнов А.Е., Умнов Е.А. Основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений

Версия от 14 февраля 2021. — Москва: МФТИ, 2021. — 320 с.Данное пособие предназначено для студентов, проходящих обучение в бакалавриате высшей школы по специализациям «Прикладные математика и физика» и «Системный анализ». Оно также может быть полезным как при подготовке к Государственному квалификационному экзамену по выcшей математике, так и вступительному экзамену в магистратуру.
При составлении пособия авторы старались добиться по возможности максимального соответствия спектру тем и вопросов, традиционно включаемых в курс «Обыкновенные дифференциальные уравнения», допуская при этом, что порядок следования материала, логика и методика его изложения могут быть существенно различными.
От авторов
Введение
Простейшие методы решения дифференциальных уравнений
Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной
Уравнения с разделяющимися переменными
Линейные уравнения первого порядка
Уравнения первого порядка в дифференциалах
Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной
О методах понижения порядка уравнения и других специальных алгоритмах
Линейные дифференциальные уравнения порядка 𝑛 с постоянными коэффициентами
Линейные уравнения 𝑛−го порядка. Основные понятия и свойства
Дифференциальные многочлены и их свойства
Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
Выделение вещественных решений
Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами
Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Однородные системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами (случай базиса из собственных векторов)
Однородные системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами (случай жорданова базиса)
Неоднородные системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами
Показательная функция матрицы
Элементы операционного исчисления
Задача Коши
Постановка задачи Коши
Принцип сжимающих операторов
Существование и единственность решения задачи Коши
Продолжаемость локального решения задачи Коши
Исследование зависимости решения задачи Коши от параметров
Задача Коши для уравнений, не разрешенных относительно производной
Существование и единственность решения задачи Коши в линейном и квазилинейном случаях
Системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами
Нормальные линейные системы с переменными коэффициентами
Построение общего решения линейной системы с переменными коэффициентами
Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами
Линейные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами
Решение дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов. Уравнение Бесселя
Системы нелинейных дифференциальных уравнений
Автономные системы уравнений и их свойства
Устойчивость положения равновесия автономной системы
Положения равновесия автономных систем второго порядка
Первые интегралы систем обыкновенных дифференциальных уравнений
Линейные уравнения в частных производных первого порядка
Введение в вариационное исчисление
Простейшая задача вариационного исчисления
Задачи вариационного исчисления с функционалами обобщенного вида
Задачи вариационного исчисления с граничными условиями обобщенного вида
Условные вариационные задачи
Замечания о достаточных условиях оптимальности в задачах вариационного исчисления
Приложение. Метод корневых векторов решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Литература
Предметный указатель