Леонов Л.П., Дроков В.Г., Ощепкова Н.П. Курс лекций по высшей математике

Учебное пособие. — Барнаул: Алтайский политехнический институт имени И.И. Ползунова (АПИ), 1972. — 194 с.Перед авторами стояла задача: найти те резервы времени, которые позволили бы студентам механико-технологического факультета изучить требуемые им новые современные разделы математики, такие как уравнения математической физики, математическая обработка результатов эксперимента и др., не предусмотренные существующей программой, Это авторам удалось за счет модернизации курса высшей математики, читаемого в течение ряда лет для студентов данного факультета. Под модернизацией курса авторы понимают не столько введение новых разделов, сколько изложение классических понятий и методов на базе современной математики, основу которой составляют математическая логика и теория множеств. Авторами были изучены требования, предъявляемые к современным инженерам механико-технологического факультета и учебные планы его специальностей, было выяснено, где материал того или иного раздела курса высшей математики как часто и в каком объеме встречается. Исходя из этого была построена логическая структура курса, представляющая собой логическую сеть связей, понятий и разделов курса. На основании анализа логической структуры с учетом времени, предусматриваемого существующим учебным планом была разработана программа курса высшей математики для студентов механико-технологического факультета и в соответствие с этой программой написано настоящее учебное пособие.Предисловие.
Элементы математической логики.
Алгебра высказываний.
Элементы теории множеств.
Основные понятия и определения.
Понятие подмножества.
Высказывательные функции, кванторы.
Способы задания множеств.
Типы множеств.
Некоторые точечные множества.
Основные операции над множествами.
Отображение множеств.
Модуль действительного числа и его свойства.
Понятие окрестности точки.
Учение о функциях.
Действительные функции одного и нескольких переменных.
Некоторые другие типы функций.
Аналитический способ задания функции.
Табличный способ задания функции.
Графический способ задания функции.
Описательный способ задания функции.
Классификация функций по области определения.
Операции обращения функций.
Обращение круговых функций.
Обращение показательной функции.
Операция образования функция от функции (Суперпозиция функций).
Понятие элементарной функции.
Неявное задание функции.
Параметрическое задание функции.
Классификация функций по свойствам элементов множества M.
Теория пределов.
Понятие предела независимой переменной.
Понятие предела зависимой переменной.
Геометрическая иллюстрация понятия предела функции.
Односторонние пределы функции.
Понятие предела векторной функции скалярного аргумента.
Понятие непрерывности функции в точке.
Свойства функций непрерывных на отрезке [a, b].
Некоторые важные теоремы о пределах.
Натуральные логарифмы.
Бесконечно малые и бесконечно большие величины.
Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.
Теорема о связи бесконечно малой функции и предела.
Сравнение бесконечно малых функций.
Теоремы о бесконечно малых функциях.
Приложение теории пределов.
Точки разрыва функций и их классификация.
Асимптоты.
Дифференциальное исчисление функций одного и нескольких переменных.
Определение операции дифференцирования.
Теорема о связи дифференцируемости с непрерывностью функции в точке.
Таблица основных производных.
Правила дифференцирования.
Производные высших порядков функции одного переменного.
Дифференцирование функций нескольких переменных.
Дифференцирование сложных функций нескольких переменных.
Дифференциалы.
Свойство дифференциала функции одной переменной.
Теоремы о дифференцируемых функциях.
Теорема Ролля.
Теорема Коши.
Формула Тейлора.
Правило Лопиталя.
Практические приложения производных и дифференциалов.
Геометрический смысл первой производной.
Применение дифференциального исчисления к исследованию функций.
Признаки монотонности функции.
Экстремумы функций одного или нескольких переменных.
Первый достаточный признак экстремума.
Второй достаточный признак экстремума.
Необходимый признак экстремума функции нескольких переменных.
Достаточное условие экстремума для функции двух переменных.
Задача о нахождении наибольшего и наименьшего значения функции.
Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции.
Необходимый признак точки перегиба.
Кривизна линии.
Общее исследование функций и исследование графиков.
Механические и физические приложения дифференциального исчисления.