Буфетов А.И., Гончарук Н.Б., Ильяшенко Ю.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения

М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 2019. — 391 с.Наш учебник следует традиции, заложенной в книгах Арнольда и Хирша – Смейла – Деване. Часть материала почерпнута также из замечательного учебника И.Г. Петровского. Мы придерживаемся бескоординатного изложения и описываем явления в инвариантных терминах. Центральным объектом линейной теории является экспонента линейного оператора. Теорема существования доказывается с помощью принципа сжимающих отображений. В то же время в этой книге есть ряд новшеств. Подробно описан ход лучей на плоскости с переменным показателем преломления, данный в учебнике Арнольда лишь намеком. Доказателство первого закона Кеплера изложено элементарно с помощью приема, предложенного Фейнманом. В главе о симметриях дифференциальных уравнений приведена теорма Нетер о первых интегралах. Метод Фурье для уравнений с частными производными излагается как приложение теории линейных автономных систем. Это естественно приводит к уравнениям Бесселя, описанным в главе 6. Теорема существования и единственности доказана многими различными способами. В теории устойчивости исследуются положения равновесия не только для дифференциальных уравнений, но и для отображений. Несмотря на добавление материала, это упрощает изложение. Наряду с достаточным условием устойчивости в теореме Ляпунова доказано (с помощью функции Четаева) достаточное условие неустойчивости. Дана полная топологическая классификация гиперболических положений равновесия для дифференциальных уравнений и отображений; в частности, доказана теорема Гробмана – Хартмана. Изложены основы теории Фробениуса. Подкова Смейла описана на языке, доступном для старшеклассников. Книга снабжена набором задач, более обильным, чем в традиционных учебниках.
Несколько слов об истории написания этой книги. В ней подитожен 50-летний опыт третьего автора, который с 1968 года вел упражнения, а с 1993 года читал курс обыкновенных дифференциальных уравнений на мехмате МГУ. С 1997 по 2016 год Ю. Ильяшенко работал полгода в году профессором Корнельского университета (США), и преподавал на мехмате только в весеннем семестре. Поэтому он делил годовой курс с лекторами напарниками: А.С. Городецким, В.А. Кондратьевым, И.В. Асташовой, А.И. Буфетовым, которые читали первую половину курса в осеннем семестре. Этот же курс, в несколько сокращенном виде, читали в разные годы Ю.С. Ильяшенко и Н.Б. Гончарук в Корнельском университете; Ю. Ильяшенко читал его также в Независимом университете, Москва. Именно Асташовой и Буфетову принадлежит идея написания этой книги. Буфетову также принадлежит еще одна идея: попросить Н.Б. Гончарук тогда студентку, написать эту книгу на основе конспектов (прекрасных студенческих конспектов !) прочитанных нами лекций. Первые четыре главы были написаны Гончарук, когда она училась в университете (Ломоносовском и Независимом). При этом был выработан стиль, сохранившийся во всей книге. Так что эта книга в своем роде уникальна: это учебник, написанный студентом для студентов. Впрочем, все три автора написали ряд разделов сверх того, что было прочтено Буфетовым и Ильяшенко.Предисловие.
Введение.
Основные понятия теории дифференциальных уравнений.
Элементарные методы решения дифференциальных уравнений.
Симметрии и законы сохранения.
Линейные уравнения и системы.
Уравнения в частных производных и теоремы Штурма.
Основные теоремы и их применения.
Элементы нелинейной теории.
Хаос: подкова Смейла.А4 формат