Кружков С.Н. Нелинейные уравнения с частными производными. Часть I. Эллиптические и параболические уравнения второго порядка

Учебное пособие — М.: Мех-Мат. МГУ, 1969. — 105 с.Настоящий курс лекций по нелинейным уравнениям с частными производными состоит из двух частей: эллиптические и параболические уравнения второго порядка - часть I,
уравнения первого порядка - часть II.
Отдельно предполагается изложить дополнения к этому курсу лекций.
То обстоятельство, что первая часть посвящена уравнениям второго порядка (а не первого!) объясняется тем, что естественная (имеющая физический смысл) "регуляризация" задачи Коши для нелинейных уравнений первого порядка приводит к задаче с малым параметром в квазилинейном параболическом уравнении второго порядка. Так что некоторые результаты лекции 4 первой части являются "заготовкой" для второй части курса, где будут изложены основные результаты теории обобщенных решений задачи Коши в целом (по времени) для квазилинейных и нелинейных уравнений первого порядка.
Построение курса и характер изложения в значительной степени связаны с тем, что от читателей не предполагается знание теории линейных уравнений с частными производными и функционального анализа: базой курса является классический анализ. Специально для студентов-третьекурсников отмечаю , что хотя обозначения L_p(Ω) и W_l^p(Ω) здесь будут употребляться в общепринятом смысле, знание теории интеграла Лебега и теории обобщенных производных для понимания первой части курса не обязательно; можно считать, что всюду рассматриваются непрерывные кусочно гладкие функции.
Два широко известных результата - априорные оценки шаудеровского типа для решений линейных уравнений и теорема о неподвижной точке в банаховом пространстве - доказываться в лекциях не будут. С этими результатами можно ознакомиться соответственно по книге А.Фридмана и по статье К.Лере и Шаудера.
В последнее десятилетие значительное развитие получила теория квазилинейных эллиптических и параболических уравнений. После идей С.Н.Бернштейна основополагающее значение здесь имели известные работы де Джорджи , Нэша , Мозера об априорных оценках решений в нормах Гельдера. Результаты и методы этих работ были развиты в ряде исследований советских и зарубежных математиков, где установлены априорные оценки решений и доказаны теоремы существования решения основных краевых задач для уравнений с сильными нелинейностями.