СПб.: Без издательства, 2012. — 68 с.
Лекции по дифференциальным уравнениям, читаемым на 2 курсе для студентов факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета доцентом кафедры теории управления Чижовой О.Н., к.ф.-м.н.
Введение
Дифференциальные уравнения первого порядка.Основные понятия и определения.
Поле направлений и приближённое построение интегральных кривых.
Задача Коши. Общее, частное и особое решения.
Теорема Арцела.
Ломаные Эйлера.
Доказательство теоремы существования решения задачи Коши.
Доказательство теоремы существования и единственности решения задачи Коши.
Доказательство теоремы существования и единственности решения задачи Коши для не ограниченного множества.
Выводы из теоремы Пикара.
Возможность продолжения решения задачи Коши.
Интеграл уравнения и его свойства.
Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка.Неполные уравнения.
Уравнения с разделяющимися переменными.
Однородные уравнения.
Линейные уравнения.
Уравнение Бернулли и уравнение Риккати.
Уравнение в полных дифференциалах.
Интегрирующий множитель.
Уравнения, не разрешённые относительно производной.
Интегрирование неполных уравнений, не разрешённых относительно производной.
Уравнение Лагранжа и уравнение Клеро.
Дифференциальные уравнения высших порядков.Основные понятия и определения.
Методы интегрирования уравнений высших порядков.
Линейные уравнения n-го порядка.
Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Линейные неоднородные уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами. Метод неопределённых коэффициентов.
Метод Коши интегрирования линейных неоднородных уравнений.
Уравнение Эйлера.
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.Основные определения. Зависимые и независимые интегралы.
Приведение уравнения порядка к равносильной системе уравнений и обратная задача.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для системы уравнений в нормальной форме.
Непрерывная зависимость решения нормальной системы дифференциальных уравнений от параметров и начальных функций.
Теорема о существовании общего решения системы уравнений в нормальной форме.
Зависимость решений системы в нормальной форме от правых частей системы.
Дифференцируемость решений систем в нормальной форме по параметрам и начальным данным
Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши.
Понятие о системах уравнений в симметрической форме.
Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.Свойства систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Понятие фундаментальной матрицы системы линейных однородных уравнений.
Линейная неоднородная система уравнений.
Понятие о сопряжённой системе уравнений.
Представление фундаментальной матрицы в специальных случаях.
Фазовая плоскость.
Линейные системы с периодическими коэффициентами.
Периодические решения дифференциальных уравнений.Построение периодических решений в виде рядов.
Построение периодических решений методом малого параметра.
Понятие о предельном цикле.
Линейные дифференциальные уравнения в частных производных.Линейные однородные уравнения первого порядка.
Квазилинейные уравнения первого порядка.