Вельмисов П.А., Покладова Ю.В., Распутько Т.Б. Дифференциальные уравнения

Учебное пособие. — Ульяновск: Ульяновский государственный технический университет (УлГТУ), 2017. — 131 с.В пособии дано краткое изложение методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и представлены практические рекомендации по выполнению расчетных заданий. Приводится вывод основных уравнений математической физики и постановки краевых и начально-краевых задач для них, даны примеры решения задач математической физики.
Является руководством для выполнения типовых расчетов «Дифференциальные уравнения» и «Уравнения математической физики», предлагаемых «Сборником заданий по высшей математике» (автор Кузнецов Л. А.) и «Сборником заданий по специальным курсам высшей математики» (автор Чудесенко В. Ф.). Пособие содержит краткий теоретический материал по теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными.
Может быть использовано также при постановке спецкурсов по математической физике, теории теплопроводности, теории колебаний упругих тел, аэрогидродинамике.Введение.
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Теоретический материал и указания к решению задач.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальные уравнения первого порядка – основные понятия.
Уравнения с разделяющимися переменными.
Однородные уравнения первого порядка.
Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
Уравнение в полных дифференциалах.
Метод изоклин.
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
Дифференциальные уравнения высших порядков.
Дифференциальные уравнения n -го порядка – основные понятия.
Уравнения, допускающие понижение порядка.
Линейные дифференциальные уравнения.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Линейные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных.
Некоторые приближенные методы решения дифференциальных уравнений.
Системы дифференциальных уравнений.
Операционное исчисление и его применение при решении дифференциальных уравнений.
Преобразование Лапласа и его свойства.
Таблица некоторых изображений.
Нахождение оригинала по изображению.
Применение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и их систем.
Задания для типового расчета.
Дифференциальные уравнения с частными производными.
Теоретический материал.
Основные понятия.
Классификация уравнений второго порядка.
Классификация уравнений с частными производными второго порядка.
Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.
Некоторые сведения из теории рядов и дифференциальных уравнений.
Тригонометрический ряд Фурье.
Задача Штурма-Лиувилля. Ряды по собственным функциям.
Задачи теплопроводности.
Уравнение теплопроводности.
Постановка одномерных начально-краевых задач теплопроводности.
Стационарное тепловое поле. Постановка краевых задач.
Колебания струн, стержней, мембран. Движение жидкостей и газов.
Уравнения поперечных колебаний струны и мембраны.
Уравнения продольных и крутильных колебаний стержня.
Уравнения движения жидкостей и газов.
Постановка начально-краевых задач для волнового уравнения.
Гармонические колебания.
Применение операционного исчисления к решению уравнений в частных производных.
Справочный материал.
Указания к решению задач.
Библиографический список.
Пособие предназначено для бакалавров, специалистов и магистров всех специальностей, изучающих разделы «Обыкновенные дифференциальные уравнения» и «Дифференциальные уравнения с частными производными».
Работа выполнена на кафедре «Высшая математика» УлГТУ. Печатается в авторской редакции.