Полянин А.Д. Элементарная теория использования инвариантов для решения математических уравнений

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. — 2008. — №6 (65). — 25 с.В статье описана общая схема исследования математических уравнений, основанная на использовании инвариантов и позволяющая упрощать алгебраические уравнения и системы, понижать порядок обыкновенных дифференциальных уравнений (или их интегрировать), а
также получать точные решения нелинейных уравнений математической физики. Построение инвариантов осуществляется путем поиска преобразований, сохраняющих вид рассматриваемых уравнений (при этом не используются понятия и сложный аппарат группового анализа). Приведены многочисленные примеры решения конкретных алгебраических и дифференциальных уравнений.Важно отметить, что применение простейших преобразований сдвига и масштабирования (и их комбинаций) позволяет единообразно описать разрешимых (или допускающих понижение порядка) обыкновенных дифференциальных уравнений значительно больше, чем описано в классических и специальных учебниках. При использовании указанного простого метода надо уметь решать лишь самые простые алгебраические уравнения и системы и уметь дифференцировать.Последнее обстоятельство говорит о целесообразности введения данного метода в стандартные курсы лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям и уравнениям математической физики, которые читаются студентам, специализирующимся в области прикладной математики, физики и механики (этот метод с успехом можно включать также в соответствующие специальные курсы, читаемые в некоторых технических и педагогических вузах).