Канторович Л.В., Крылов В.И. Методы приближенного решения уравнений в частных производных

Л.-М.: ОНТИ. Гл. ред. общетехн. лит., 1936. — 528 с.В научной монографии дается систематическое изложение методов приближенного решения граничных задач для дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа. Наибольшее внимание уделено уравнениям Лапласа, Пуассона и бигармоническому уравнению, вопросы решения которых имеют весьма важное значение в электротехнике, теплотехнике, строительной механике, гидро и аэромеханике и т. д.
Рассчитана она на научных работников и аспирантов университетов, втузов и научно-исследовательских институтов; кроме того может быть рекомендована всем интересующимся приложениями математики к техническим вопросам.Методы, основанные на представлении решения в виде бесконечного ряда.
Метод Фурье.
Бесконечные системы уравнений.
Решение граничных задач с помощью неортогональных рядов.
Применение двойных рядов для решения граничных задач.
Улучшение сходимости рядов, получаемых при решении.
Приближенное решение интегральных уравнений Фредгольма.
Замена интегрального уравнения системой линейных уравнений.
Метод последовательных приближений и аналитическое продолжение.
Применение интегральных уравнений к решению задачи Дирихле.
Решение интегральных уравнений с помощью замены ядра на алгебраическое. Метод Бэтмена.
Метод сеток.
Выражение производных через разности функции. Приближенное выражение оператора Лапласа.
Уравнения эллиптического типа и соответствующие им уравнения в конечных разностях.
Решение уравнений в конечных разностях.
Оценка погрешности. Сходимость процесса.
Вариационные методы.
Уравнения эллиптического типа и соответствующие им вариационные задачи.
Метод Ритца.
Приведение к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
Метод наименьших квадратов.
Конформное преобразование областей.
Введение.
Метод Бибербаха.
Метод конформного преобразования, аналогичный методу Бибербаха.
Ортогональные полиномы и конформное преобразование.
Разложение в ряд по степеням малого параметра в случае преобразования области в круг.
Разложение в ряд по степеням малого параметра в случае преобразования круга на область.
Метод Мелентьева приближенного конформного преобразования.
Функция Грина и конформное преобразование.
Приложение интегральных уравнений к конформному преобразованию.
Отображение полуплоскости на многоугольник.
Принципы приложения конформного преобразования к решению основных задач для канонических областей.
Введение.
Задача Дирихле.
Задача Неймана.
Общая предельная задача для гармонических функций.
Основные задачи для бигармонических функций.