Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций

Изд. 2-ое, перераб. и доп. — М.: Наука, 1968. — 464 с.Систематически изложены основные положения теории случайных функций, находящие применение в различных приложениях. Дается корреляционная теория случайных процессов, а также основы теории марковских процессов и их применение к ряду типичных задач: определению вероятности невыхода ординат случайной функции за пределы данной области, среднего числа выбросов за данный уровень, длительность которых превышает заданную, и др. Большое внимание уделено определению вероятностных характеристик динамических систем, на вход которых поступают случайные функции с известными характеристиками. Помимо динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, исследуются также системы, характеризуемые дифференциальными уравнениями в частных производных (системы с распределенными параметрами). Рассматривается определение передаточной функции линейной системы, обеспечивающей минимум дисперсии ошибки при заданных характеристиках полезного сигнала и помехи. Излагаются теоретические основы и наиболее рациональные практические приемы обработки реализаций случайных процессов.
В книге используется только математический аппарат, входящий в общий курс математики, а содержание иллюстрируется большим числом примеров, представляющих интерес для ряда приложений.Предисловие.
Общие свойства случайных функций.
Теория случайных функций как раздел теории вероятностей.
Основные обозначения и формулы теории вероятностей.
Законы распределения и моменты случайной функции.
Типичные задачи, решаемые с помощью теории случайных функций.
Свойства корреляционной функции.
Дифференцирование и интегрирование случайных функций.
Действие линейного оператора на случайную функцию.
Система случайных функций. Взаимная корреляционная функция.
Задачи о выбросах: среднее число выбросов случайной функции за данный уровень, средняя длительность выброса.
Спектральная теория стационарных случайных функций.
Спектральное разложение стационарных случайных функций.
Примеры вычисления спектральной плотности стационарного случайного процесса.
Спектральная плотность линейной комбинации стационарной случайной функции и её производных. Стационарное решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Примеры нахождения спектральных плотностей и корреляционных функций в более сложных случаях.
Определение корреляционной функции решения неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами при нестационарной правой части.
Линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами.
Вероятностные характеристики решений системы линейных уравнений.
Метод огибающих.
Идея метода огибающих и вывод общих формул.
Применение метода огибающих в случае узкополосного спектра.
Определение оптимальных линейных динамических систем.
Постановка задачи определения оптимальных динамических систем.
Общее решение задачи определения оптимальной динамической системы, осуществляющей операцию сглаживания, экстраполирования и дифференцирования.
Расчётные формулы для определения оптимальной передаточной функции динамической системы в случае дробно-рациональных спектральных плотностей сигнала и помехи.
Расчётные формулы для оптимальной передаточной функции динамической системы с запаздыванием.
Оптимальное сглаживание, упреждение и дифференцирование при конечном времени наблюдения.
Примеры нахождения оптимальных динамических систем при конечном времени наблюдения.
Простейшие нестационарные задачи.
Оптимальные многоканальные динамические системы.
Основы теории марковских процессов.
Определение и общие свойства марковских процессов.
Уравнения Колмогорова.
Решение уравнений Колмогорова для простейших случаев.
Определение вероятности достижения границ и закона распределения времени пребывания случайной функции вне заданной области.
Многомерные марковские процессы.
Замена реальных процессов марковскими.
Нелинейные методы теории случайных функций.
Особенности исследования нелинейных динамических систем.
Определение закона распределения случайной функции на выходе линейной части системы.
Приводимые нелинейные системы.
Примеры приводимых нелинейных систем.
Нелинейные системы с обратной связью.
Метод статистической линеаризации.
Применение теории марковских процессов к исследованию нелинейных систем.
Экспериментальные методы определения характеристик случайных функций.
Общие принципы нахождения оценок. Оценка математического ожидания.
Оценка корреляционной функции.
Оценка спектральной плотности.
Оценка закона распределения ординаты стационарного процесса.
Некоторые дополнительные вопросы теории случайных функций.
Случайные последовательности.
Случайные функции нескольких переменных (случайные поля).
Вычисление вероятностных характеристик динамических систем с непрерывно распределёнными параметрами.
Канонические разложения случайных функций.
Литература.