Корпусов М.О., Панин А.А. Лекции по линейному и нелинейному функциональному анализу. Том 2. Специальные пространства

М.: Физический факультет МГУ, 2016. — 259 с.Настоящее учебное пособие посвящено изложению основ функционального анализа для студентов–математиков кафедры математики физического факультета МГУ. Во втором томе «Специальные пространства» рассматриваются различные пространства функций, как представляющие интерес в силу внутренней логики действительного анализа, так и широко используемые в математической физике для формулировки и исследования обобщенных постановок краевых и начально-краевых задач. Изложение начинается с описания пространств функций ограниченной вариации и абсолютно непрерывных функций. Здесь же приводится теория интеграла Римана—Стилтьеса. Затем рассматриваются гельдеровы функции. Далее рассматриваются пространства Лебега, причем в целях замкнутости изложения приводится доказательство теоремы Радона—Никодима, которая требуется для описания пространств, сопряженных к лебеговским. Кроме того, рассмотрение сопряженных пространств требует вернуться к понятию слабой сходимости. После этого мы переходим к пространствам, наиболее часто используемым в обобщенных постановках задач математической физики, а именно: пространствам D, P и пространствам Соболева. Для последних доказаны теоремы вложения Соболева и Реллиха—Кондрашова. В качестве дополнения приводится материал, позволяющий строить интеграл типа Лебега от банаховозначных функций (интеграл Бохнера), и рассмотрены свойства соответствующих пространств.