Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений методами Рунге-Кутта

Учебное пособие. — Москва: МГУ, 2014. — 58 с.Настоящее учебное пособие посвящено рассмотрению практических аспектов численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений явными методами Рунге–Кутта. В пособии приведен анализ сходимости этих методов, даны практические способы оценки погрешности приближенных решений, а также описаны различные приемы их реализации на ЭВМ.
Предлагаемое учебное пособие предназначено для студентов механико-математического факультета МГУ, однако может быть использовано на других факультетах МГУ, учебные программы которых включают в себя изучение численных методов. Кроме того, пособие может быть полезно для аспирантов и научных сотрудников, интересующихся вопросами развития численного программного обеспечения ЭВМ.ВведениеПостановка задачиОдношаговые методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Общее представление одношаговых методов
Метод рядов Тейлора
Явные методы типа Рунге-Кутта
Одночленная формула
Двучленные формулы
Трехчленные формулы
Четырехчленные формулы
Формулы порядка выше четвертого
Сходимость явных одношаговых методов
Классификация погрешностей
Мажорантная оценка полной погрешности
Асимптотическая оценка погрешности метода
Реальная область асимптотики
Практические способы оценки погрешности приближенного решения
Апостериорная оценка глобальной погрешности метода
Апостериорные оценки локальной погрешности метода
Оценка погрешности по правилу Рунге
Оценка погрешности на основе комбинации формул разных порядков точности
Комбинация независимых формул
Комбинация специально подобранных формул
Контрольные члены для методов Рунге-Кутта. Оценка погрешности в методах Мерсона, Инглэнда и Фельберга
Оценка погрешности с помощью нелинейного контрольного члена
Интегрирование с переменным шагом. Автоматический выбор шага интегрирования
Алгоритм выбора с помощью удвоения и деления шага пополам
Выбор максимальной для заданной точности длины шага
Использование различных характеристик точности
Чего не могут явные методы Рунге–КуттаДругие методы численного решения дифференциальных уравненийОбщая сводка формул Рунге-Кутта
Формулы второго порядка
Формулы третьего порядка
Формулы четвертого порядка
Формулы пятого порядка
Формула третьего порядка с контрольным членом
Формулы четвертого порядка с контрольным членом
Формулы пятого порядка с контрольным членомЛитература
Приложение