Коралов Л.Б., Синай Я.Г. Теория вероятностей и случайные процессы

Пер. с англ. Э. В. Переходцевой. — М.: Московский центр непрерывного математического образования (МЦНМО), 2014. — 407 c. — ISBN: 978-54439-2073-3.В основу книги положены курсы лекций, читавшихся авторами в американских университетах. Изложение теории вероятностей (главы 1--11) начинается с нулевого уровня и доходит до продвинутых разделов, иногда включаемых в курсы для студентов, специализирующихся в этой области.
Для понимания второй части книги (случайные процессы — главы 12––22) требуется владение первой частью и несколько более высокая математическая культура — в главах, использующих сведения из функционального анализа и дифференциальных уравнений. Большинство глав заканчивается списком задач.
Издание предназначено для студентов физико-математических специальностей университетов и всех изучающих и применяющих теорию вероятностей.Предисловие к русскому изданию
ПредисловиеТеория вероятностей
Случайные величины и их распределения
Пространство элементарных исходов, σ-алгебры и меры
Математическое ожидание и дисперсия случайных величин на дискретном вероятностном пространстве
Вероятность объединения событий
Эквивалентные определения σ-аддитивности, борелевских σ-алгебр и измеримости
Функции распределения и плотности
ЗадачиПоследовательности независимых испытаний
Закон больших чисел и его приложения
Предельная теорема Муавра––Лапласа и ее приложения
Предельная теорема Пуассона
ЗадачиИнтеграл Лебега и математическое ожидание
Определение интеграла Лебега
Индуцированные меры и функции распределения
Типы мер и функций распределения
Замечания о построении меры Лебега
Сходимость функций и интегралов. Теорема Фубини
Знакопеременные меры и теорема Радона––Никодима
Пространства L
Метод Монте-Карло
ЗадачиУсловные вероятности и независимость
Условные вероятности
Независимость событий, σ-алгебр и случайных величин
системы и независимость
ЗадачиЦепи Маркова с конечным числом состояний
Стохастические матрицы
Цепи Маркова
Эргодические и неэргодические цепи Маркова
Закон больших чисел и энтропия цепи Маркова
Произведения положительных матриц
Общие цепи Маркова и условие Дёблина
ЗадачиСлучайные блуждания на решетке Z
Возвратные и невозвратные случайные блуждания
Случайное блуждание на Z и принцип отражения
Закон арксинуса
Задача о разорении игрока
ЗадачиЗакон больших чисел
Определения, леммы Бореля––Кантелли и неравенство Колмогорова
Теоремы Колмогорова об усиленном законе больших чисел
ЗадачиСлабая сходимость мер
Определение слабой сходимости
Слабая сходимость и функции распределения
Слабая компактность и плотность. Теорема Прохорова
ЗадачиХарактеристические функции
Определение и основные свойства
Характеристические функции и слабая сходимость
Гауссовские случайные векторы
ЗадачиПредельные теоремы
Центральная предельная теорема. Условие Линдеберга
Локальная предельная теорема
Центральная предельная теорема и теория ренормгруппы
Вероятности больших уклонений
Другие предельные теоремы
ЗадачиНесколько интересных вероятностных задач
Полукруговой закон Вигнера для симметрических случайных матриц
Произведения случайных матриц
Статистика выпуклых ломаныхСлучайные процессы и случайные поля
Основные понятия
Определение случайного процесса и случайного поля
Теорема Колмогорова о согласованных конечномерных распределениях
Процесс Пуассона
ЗадачиУсловные математические ожидания и мартингалы
Условные математические ожидания
Свойства условных математических ожиданий
Регулярные условные вероятности
Фильтрации, моменты остановки и мартингалы
Мартингалы с дискретным временем
Мартингалы с непрерывным временем
Сходимость мартингалов
ЗадачиМарковские процессы с конечным пространством состояний
Определение марковского процесса
Инфинитезимальная матрица
Прямая конструкция марковского процесса
Задача из теории массового обслуживания
ЗадачиСтационарные в широком смысле случайные процессы
Гильбертово пространство, порожденное стационарным процессом
Закон больших чисел для стационарного случайного процесса
Теорема Бохнера и другие полезные результаты
Спектральное представление стационарного случайного процесса
Ортогональные случайные меры
Линейный прогноз стационарных случайных процессов
Стационарные случайные процессы с непрерывным временем
ЗадачиСтационарные в узком смысле процессы
Стационарные процессы и сохраняющие меру преобразования
Эргодическая теорема Биркгофа––Хинчина
Эргодичность, перемешивание и регулярность
Стационарные процессы с непрерывным временем
ЗадачиОбобщенные случайные процессы
Обобщенные функции и обобщенные случайные процессы
Гауссовские процессы и белый шумБроуновское движение
Определение броуновского движения
Пространство C([0,∞))
Существование меры Винера, теорема Донскера
Теорема Колмогорова
Некоторые свойства броуновского движения
ЗадачиМарковские процессы и марковские семейства
Распределение максимума броуновского движения
Определение марковского свойства
Марковское свойство броуновского движения
Пополненная фильтрация
Определение строго марковского свойства
Строго марковское свойство броуновского движения
ЗадачиСтохастический интеграл и формула Ито
Квадратическая вариация квадратично интегрируемого мартингала
Пространство подынтегральных функций для стохастического интеграла Ито
Простые процессы
Определение и основные свойства стохастического интеграла
Дальнейшие свойства стохастического интеграла
Локальные мартингалы
Формула Ито
ЗадачиСтохастические дифференциальные уравнения
Существование сильных решений стохастических дифференциальных уравнений
Задача Дирихле для уравнения Лапласа
Стохастические дифференциальные уравнения и УрЧП
Марковское свойство решений СДУ
Задача гомогенизации
ЗадачиГиббсовские случайные поля
Определение гиббсовского случайного поля
Пример фазового переходаПредметный указатель