Мигунова Д.С. О движении мяча по травяному газону

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук: 01.02.01 - Теоретическая механика. — Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова. — Москва, 2012. — 97 с.Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор Вильке В.Г.Введение
Движение гладкого мяча по стержневому газону
Моделирование механической системы "мяч-газон". Постановка задачи
Вычисление сил ударных реакций со стороны стержней, действующих на поверхность мяча
Силы, обусловленные деформацией стержней
Уравнения движения
Частные режимы движения: качение по горизонтальной плоскости, качение по наклонной плоскости, вертикальные колебания. Отыскание стационарных движений, исследование их устойчивости
Движение мяча с шероховатой поверхностью по стержневому газону
Учет рассеяния энергии при скольжении концов стержней по поверхности мяча
Модели сил трения
Уравнения движения для модели линейного вязкого трения
Оглавление
Уравнения движения для модели сухого трения
Движение шероховатого мяча по газону с учетом внутренних вязких сил при деформации стержней
Уравнения движения с учетом вязкости стержней
Изменение формы пятна контакта
Заключение
ЛитератураОсновные результаты диссертации и их научная новизна.
В работе проведено исследование динамики механической системы, состоящей из массивного шара неизменной формы и деформируемой сплошной среды — так называемого газона. Газон смоделирован непрерывным однородным множеством стержней, недеформированных в отсутствие контакта с мячом. Для стержней рассмотрена модели линейной упругости, а также модель Кельвина-Фойхта.
Сформулирована постановка задачи о движении мяча с гладкой сферической поверхностью по газону, состоящему из упругих деформируемых стержней. Найдены уравнения движения стержней с помощью вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. В качестве источников сил сопротивления движению рассмотрены ударное взаимодействие стержней и мяча на границе зоны контакта и упругая деформация стержней. Вычислена результирующая сила ударного воздействия, найдено условие существования ударов. Показано, что полученная сила пропорциональна квадрату скорости центра мяча и имеет две компоненты: горизонтальную, противоположную направлению движения, и вертикальную. Найдены перемещения свободных концов стержней и результирующая сила поля реакций, действующих на мяч со стороны стержней, которая направлена вверх вдоль оси 𝑂𝑋3. Получены уравнения движения мяча, имеющие сложный нелинейный характер. Движение подробно исследовано для частных режимов: движения по горизонтальной плоскости, вертикальных колебаний и соскальзывания по наклонной плоскости под действием силы тяжести.
В последнем случае исследовано существование стационарных движений. Показано, что в зависимости от параметров системы
может существовать до двух стационарных движений, среди которых одно устойчиво, а другое неустойчиво.
Исследована динамика мяча с шероховатой сферической поверхностью на газоне. Для определения величины сил трения, действующих в точках контакта свободных концов стержней с поверхностью мяча, использован диссипативный функционал, учитывающий зависимость этих величин от распределения нормальной нагрузки, скорости точки контакта, а также выбранной модели трения. Для произвольной модели трения уравнения движения получены в виде системы связанных интегро-дифференциальных уравнений. Рассмотрены частные модели трения: линейное вязкое трение, сухое трение Кулона, вязкая аппроксимация сухого трения. Для линейного вязкого трения вычислены результирующие сила и момент трения, показано существование аттрактора в случае горизонтальной плоскости и стационарных движений в случае наклонной плоскости. Приведены выражения для силы и момента трения для двух других моделей трения и результаты численного интегрирования уравнений движения.
Рассмотрена динамика взаимодействия мяча с множеством вязкоупругих стержней, описанных при помощи модели Кельвина-Фойхта. Для определения сил сопротивления, возникающих вследствие внутренней вязкости материала стержней, сформулирован диссипативный функционал. С его помощью вычислены нелинейные вязкие силы сопротивления и показана их малость относительно других сил сопротивления. Сформулированы уравнения движения мяча с учетом сил внутренней вязкости. Показано, что найденные вязкоупругие силы, вообще говоря, изменяют форму и размеры зоны контакта. Граница возмущенной зоны контакта вычислена аналитически, при этом в качестве критерия отрыва стержня от поверхности шара использовано обращение в ноль силы реакции односторонней связи. Указан вид этой границы для некоторых частных случаев движения, приведены сравнительные графики.
Все основные результаты, полученные в работе, являются новыми.