Лекції з Диференціальних рівнянь

НТУУ "КПІ", ФТІ, викладач - Кадобъянский Р. М., І семестр II курсу.Основні положення теорії диференціальних рівнянь.
Найпростіші типи диференціальних рівнянь першого порядку.
Диференціальні рівняння та закони природи.
Поняття диференціального рівняння та його розв’язки.
Геометрична інтерпретація рівняння у'=f(x,y).
Розв'язання рівняння y'=f(x).
Рівняння виду у'=f(y).
Рівняння із змінними, що відокремлюються.
Рівняння вигляду y'=f(ax+by) (a≠0 i b≠0).
Однорідні рівняння.
Рівняння, що зводяться до однорідних.
Лінійні рівняння і-го порядку.
Рівняння, що зводяться до лінійіних.
Рівняння із повним диференціалом.
Інтегрувальний множник.Теореми існування та єдиності розв’язків нормальних систем диференціальних рівнянь
Метричні простори.
Теорема банаха про нерухому точку.
Нормальна система диференціальних рівнянь.
Спеціальний метричний простір.
Узагальнення на вектор функції.
Інтегральнаі форма нормальної системи рівнянь.
Теорема Пікара.
Обговорення теореми Пікара.
Теорема Пікара для лінійної системи рівнянь.Рівняння, не розв'язані відносно похідної.
Попередні зауваження.
Рівняння, що не містять явно одну їз змінних.
Особливі розв'язки.Диференціальні рівняння вищих порядків.
Теорема існування та єдиності.
Рівняння вищих порядків, що інтегруються у квадратурах.
Рівняння, що припускають зниження порядку.Лінійні рівняння.
Означення.
Теорема існування та єдиності.
Операторна форма рівняння a0(x)y(n)+a1(x)y(n-1)+. +an-1(x)y1+any=f(x).
Лінійна залежність та незалежність функцій. Вронскіан.
Розмірність ядра оператора L. Фундаментальна система розв’язків.
Формула Остроградського-Ліувілля.
Лінійні рівняння із сталими коефіцієнтами.
Фундаментальна система лінійних однорідних рівнянь із сталими коефіцієнтами.
Неоднорідні рівняння. Спеціальні випадки.
Метод варіації сталої.
Рівняння Ейлера.Лінійні рівняння і лінійні оператори