Шпори по Диференціальним рівнянням

Рівняння з відокремлюваними змінними та однорідні рівняння 1-го порядку.
Лінійні рівняння першого порядку та рівняння типу Бернуллі. Метод Бернуллі та Лагранжа (варіації довільної сталої). Рівняння Ріккатті.
Рівняння у повних диференціалах. Інтегрувальний множник.
Неявні ДР 1-го п-ку. Метод введення параметра. Рівняння Лагранжа і Клеро.
Теорема Коші-Пікара, теореми про неперервну залежність розв`язку від параметра, початкових умов.
Класи ДР вищих порядків, які інтегруються у квадратурах.
Класи ДР вищих порядків, які допускають зниження порядку.
Загальні властивості лінійних скалярних рівнянь n-го порядку.
Властивості лінійних однорідних ЛОР. Необхідна (достатня) умови ЛНЗ. функцій. Критерій ЛНЗ розв`язків ЛОР. Матриця і визначник Вронського.
ФСР лінійного однорідного рівняння. Метод Лагранжа. Структура загального розв`язку ЛНР.
Зниження порядку ЛОР. Формули Остроградського-Ліуввілля і Абеля.
Лінійні однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами. Метод Ейлера. Комплексна та дійсна ФСР.
Метод побудови частинного розв’язку ЛНР з правою частиною – квазіполіномом. Резонансний та нерезонансний випадки.
Рівняння, звідні до рівнянь зі сталими коефіцієнтами (Ейлера, Лагранжа, Чебишева).
Система ДР у нормальній формі Коші. Розв’язок, перший та загальний інтеграли системи ДР. Теорема Коші-Пікара (формулювання).
Методи виключення та інтегровних комбінацій для систем ДР.
Загальні властивості лінійних систем.
Необхідна (достатня) умова ЛНЗ системи вектор-функцій. Критерій ЛНЗ системи розв’язків ЛОС. Метод Лагранжа. Структура загального розв’язку ЛНР.
ЛОС зі сталими коефіцієнтами. Метод Ейлера та матричний метод побудови фундаментальної матриці. Залежність асимптотичних (при t → + ∞) властивостей матрицанта від власних чисел матриці системи.
20. Лінійні диференціальні задачі. Класифікація. Теореми існування.
Спектральні задачі. Задача Штурма-Ліуввілля. Властивості власних чисел і власних функцій задачі Штурма-Ліуввілля.
Інтегральне представлення розв’язку лінійної диференціальної задачі. Функції Гріна і Коші, їх фізичний смисл.
Означення стійкості, асимптотичної стійкості і нестійкості (за Ляпуновим). Лема про систему збурень.
Стійкість лінійних систем. Стійкість лінійних систем зі сталими коефіцієнтами. Критерій Гурвіца.
Критерій стійкості за першим наближенням. Розміщення траєкторій в околі точки спокою системи (n=2). Типи точок спокою.
Методи (регулярний і сингулярний) степеневих рядів.
Рівняння і функції Бесселя.
Лінійні однорідні та квазілінійні рівняння з частинними похідними 1-го порядку. Метод характеристик.
Задача Коші для лінійних та квазілінійних рівнянь.
Перетворення Лапласа. Оригінал та зображення. Основні теореми операційного числення.
Обернення перетворення Лапласа. Формула Рімана-Мелліна, відшукання оригінала раціонального зображення, метод степеневих рядів.
Застосування операційного методу до розв’язання ЛДР зі сталими коефіцієнтами.
Лінійні інтегральні рівняння ті їх класифікація. Розв’язування лінійних інтегральних рівнянь Вольтерра типу згортки.
Лінійні інтегральні рівняння Фредгольма 2-го роду з виродженим ядром. Майже вироджені ядра. Альтернатива Фредгольма.
Неоднорідні рівняння Фредгольма 2-го роду. Метод послідовних наближень (ітерацій). Існування та єдиність розв’язку.
Основна лема варіаційного числення.
Загальна необхідна умова екстремуму функ-лу.
Рівняння Ейлера-Лагранжа для деяких задач варіаційного числення.