Феофанова В.А., Воротников В.И. Дифференциальные уравнения. Лекции, примеры и задачи

Учебное пособие. — Нижний Тагил: Уральский федеральный университет (УрФУ) Нижнетагильский технологический институт - филиал, 2015. — 128 с.В пособии рассмотрены основные понятия и теоремы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а также основные типы дифференциальных уравнений, систем дифференциальных уравнений и методы их решения. Показаны некоторые методы исследования устойчивости по Ляпунову решений систем дифференциальных уравнений. Подробно изложен метод Фурье для уравнения колебаний струны и уравнения теплопроводности, приведены решения задач в различных постановках.
Пособие написано в доступной форме, достаточно полно и строго. В данном издании содержатся задачи и упражнения, направленные не только на освоение методов решений различного типа дифференциальных уравнений и систем, но и на исследование решений и составление дифференциальных уравнений при решении физических, механических и геометрических задач. Пособие содержит много примеров, рисунков, иллюстрирующих вопросы существования, единственности, продолжимости и устойчивости решений задачи Коши по начальным данным, а также индивидуальные задания по всем рассматриваемым темам для самостоятельной работы студентов. Пособие может быть использовано в качестве первоначальных теоретических основ в теоретической механике, численных методах, математическом моделировании.Введение.Геометрическая интерпретация уравнения y'=f(x,y) и его решения. Интегральные кривые.
Задача Коши.
Задачи и упражнения.Теорема существования и единственности (локальный вариант). Принцип сжатых отображений. Простейшие дифференциальные уравнения.
Теорема существования и единственности решения уравнения y'=f(x,y) (локальный вариант). Принцип сжатых отображений.
Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения.
Задачи и упражнения.Продолжимость решения. Непрерывная зависимость решения от начальных данных и от правой части уравнения. Линейные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли.
Продолжимость решения и непрерывная зависимость решения уравнения от начальных данных и от правой части уравнения.
Линейные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли. Метод Бернулли, метод вариации постоянных.
Задачи и упражнения.Уравнения в полных дифференциалах. Дифференциальные уравнения высших порядков. Особые решения. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной.
Уравнения в полных дифференциалах.
Дифференциальные уравнения высших порядков.
Особые точки. Особые решения.
Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной.
Задачи и упражнения.Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения n-го порядка.
Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Задачи и упражнения.
Задачи для самостоятельной работы.Нормальные системы дифференциальных уравнений. Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Нормальные системы дифференциальных уравнений. Теорема существования единственного решения.
Однородные и неоднородные линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Задачи и упражнения.Динамические системы. Фазовое пространство. Понятие устойчивости решения.
Динамические системы. Фазовое пространство.
Устойчивость решения по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость.
Задачи и упражнения.Теорема Ляпунова. Критерий устойчивости по первому приближению.
Задачи и упражнения.Уравнение колебания струны. Метод Фурье для уравнения колебания струны.
Уравнения колебания струны.
Граничные и начальные условия.
Уравнения свободных колебаний струны.
Неоднородные уравнения колебания струны.
Общая первая краевая задача.
Задачи.Уравнение теплопроводности. Метод Фурье для уравнения теплопроводности.
Уравнение теплопроводности.
Решение однородного уравнения теплопроводности с однородными граничными условиями.
Неоднородное уравнение теплопроводности.
Задачи.Библиографический список.
Приложения
Варианты заданий для самостоятельной работы.
Методические указания к выполнению самостоятельной работы.