Шилов Г.Е. Математический анализ (конечномерные линейные пространства)

М.: Наука, 1969. — 429 с.Книга представляет собой существенно переработанный вариант книги того же автора «Введение в теорию линейных пространств» (Гостехиздат, 1952 и 1956). Издание соответствует в основном программе университетского курса линейной алгебры и рассчитано в первую очередь на студентов математических, физических и других естественнонаучных специальностей. Для ее чтения необходимо, как правило, владение лишь элементарной математикой; в отдельных случаях используются сведения из математического анализа с соответствующими отсылками. В главе 1 излагается теория определителей. В главах 2-7 рассматривается аффинная теория линейных пространств (над произвольным числовым полем), в главах 8-10 - теория евклидовых и унитарных пространств. В главе 11 описываются алгебры линейных операторов в конечномерных пространствах и в главе 12 - соответствующие категории.Определители
Числовые поля
Основные задачи теории систем линейных уравнений
Определитель n-го порядка
Свойства определителей
Алгебраические дополнения и миноры
Практическое вычисление определителей
Правило Крамера
Миноры произвольного порядка. Теорема Лапласа
О линейной зависимости между столбцамиЛинейные пространства
Определение
Базис, координаты, размерность
Подпространства
Линейные оболочки
Гиперплоскости
Морфизмы линейных пространствСистемы линейных уравнений
Еще о ранге матрицы
Нетривиальная совместность однородной линейной системы
Условие совместности общей линейной системы
Общее решение линейной системы
Геометрические свойства совокупности решений линейной системы
Методы вычисления ранга матрицыЛинейные функции векторного аргумента
Линейные формы
Линейные операторы и их матричная запись
Действия над линейными операторами
Соответствующие действия над матрицами
Дальнейшие свойства умножения матриц
Область значений и нуль-многообразие линейного оператора
Линейные операторы, переводящие пространство Kn в себя
Инвариантные подпространства
Собственные векторы и собственные значенияПреобразования координат
Формулы перехода к новому базису
Последовательные преобразования
Преобразование координат вектора при изменении базиса
Преобразование коэффициентов линейной формы
Преобразование матрицы линейного оператора
ТензорыКаноническая форма матрицы линейного оператора
Каноническая форма матрицы нильпотентного оператора
Алгебры; алгебра многочленов от одного переменного
Каноническая форма матрицы произвольного оператора
Элементарные делители
Некоторые следствия
Вещественная жорданова форма
Спектры, корпусы и многочлены
Функции от оператора и их матричная записьБилинейные и квадратные формы
Билинейные формы
Квадратичные формы
Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Канонический базис билинейной формы
Построение канонического базиса по методу Якоби
Сопряженные линейные операторы
Изоморфизм пространств с выделенной билинейной формой
Полилинейные формы
Квадратичные и билинейные формы в вещественном пространствеЕвклидовы пространства
Определение евклидова пространства
Основные метрические понятия
Ортогональный базис
Задача о перпендикуляре
Общая теорема об ортогонализации
Определитель Грама
Несовместные системы линейных уравнений и метод наименьших квадратов
Сопряженные операторы и изометрияКомплексные пространства со скалярным произведением
Эрмитовы формы
Скалярное произведение в комплексном пространстве
Нормальные операторы
Применение унитарного пространства к теории операторов в евклидовом пространствеКвадратичные формы в евклидовом и унитарном пространствах
Основная теорема о квадратичных формах в евклидовом пространстве
Экстремальные свойства квадратичной формы
Задача о паре квадратичных форм
Приведение общего уравнения поверхности 2-го порядка к каноническому виду
Геометрические свойства поверхностей 2-го порядка
Анализ поверхности по ее общему уравнению
Эрмитово-квадратичные формыКонечномерные алгебры и алгебры матриц
Еще об алгебрах
Представления абстрактных алгебр
Неприводимые представления и лемма Шура
Основные типы конечномерных алгебр
Строение левого регулярного представления простой алгебры
Структура простых алгебр
Структура полупростых алгебр
Строение представлений простых и полупростых алгебр
Некоторые дальнейшие результатыКатегории конечномерных пространств
Случай, когда все данные алгебры
Все данные алгебры ℘а - одномерные
Все данные алгебры ℘а - простые
Все данные алгебры ℘а - полные алгебры диагональных матриц
Категории и прямые суммы