Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу

4-е изд., доп. — М.: Просвещение, 1973. — 256 с.Настоящий сборник задач составлен в соответствии с новой программой курса математического анализа для физико-математических факультетов педагогических институтов. При составлении этого сборника авторы учитывали особенности задач педагогического вуза, связанные с подготовкой высококвалифицированных учителей математики и физики средней школы. Значительное внимание уделено задачам, способствующим закреплению и углублению основных понятий математического анализа. Кроме того, включены задачи, имеющие прямое отношение к курсу математики средней школы. Авторы считали полезным включение трудных, а иногда и оригинальных задач, решение которых должно повысить общую математическую культуру и развить творческие способности учащихся. По сравнению с. предыдущим настоящее издание дополнено тремя новыми главами: гл. 12 - Мера и интеграл Лебега, гл. 13 - Элементы функционального анализа, гл. 14 - Теория аналитических функций.Предисловие к четвертому изданию
Функция
Действительные числа
Нахождение значений функций
Область определения функции
Графики функций
Монотонные функции. Функции четные и нечетные. Периодические функции
Элементарные функции и их графики
Пределы
Предел числовой последовательности
Предел функции в точке
Односторонние пределы
Предел функции на бесконечности
Бесконечные пределы
Бесконечно малые функции
Непрерывные функции
Производные и дифференциалы
Понятие производной
Техника дифференцирования функций
Дифференциал и дифференцируемые функции
Геометрическое значение производной
Механическое значение производной
Производные высших порядков
Исследование функций
Теорема о среднем. Возрастание н убывание функций
Максимум и минимум функции в точке и на отрезке
Раскрытие неопределенностей. Асимтоты
Выпуклость, вогнутость, точки перегиба
Исследование функций
Общая теорема о среднем значении
Неопределенный интеграл
Основные методы интегрирования
Интегрирование рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Разные примеры на интегрирование функций
Определенный интеграл
Понятие определенного интеграла и его простейшие свойства
Формула Ньютона-Лейбница
Несобственный интеграл
Приложения определенного интеграла
Площади плоских фигур
Длина дуги плоской кривой
Объем и площадь поверхности тела вращения
Статический момент н центр тяжести
Разные задачи
Теория рядов
Нахождение сумм числовых рядов. Геометрическая прогрессия
Признаки сходимости положительных рядов, основанные на сравнении рядов
Интегральный признак сходимости. Принцип сгущения. Признак Лейбница. Абсолютная сходимость
Критерий Коши. Арифметические действия над рядами. Пере-становка членов ряда
Функциональные ряды
Степенные ряды. Разложение функций в ряды
Вычисления с помощью рядов
Тригонометрические ряды. Приближение функций многочленами
Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Понятие функции нескольких переменных. Область определения. Геометрическое изображение функции двух переменных
Предел и непрерывность функций нескольких переменных
Частные производные и полный дифференциал
Дифференцирование сложных и неявных функций
Дифференциалы высших порядков. Формула и ряд Тейлора
Геометрические приложения частных производных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Огибающие
Экстремумы функций многих переменных
Дифференциальные уравнения
Основные понятия. Разделение переменных
Однородные дифференциальные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения, к ним приводящиеся
Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
Уравнения, не разрешенные относительно производной. Особые решения
Изогональные траектории
Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
Линейные дифференциальные уравнения второго н высших порядков с постоянными коэффициентами
Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов
Задачи на дифференциальные уравнения высших порядков
Кратные и криволинейные интегралы
Двойной интеграл. Геометрические приложения двойного интеграла
Тройной интеграл. Геометрические приложения тройного интеграла
Механические и физические приложения двойных и тройных интегралов
Криволинейные интегралы
Приложения криволинейных интегралов
Мера и интеграл Лебега
Множества. Алгебра множеств
Отображения множеств
Мощность множества
Открытые и замкнутые множества
Внешняя и внутренняя меры линейного множества. Мера Лебега
Измеримые функции
Интеграл Лебега. Сравнение интегралов Рнмана и Лебега
Предельный переход под знаком интеграла. Суммируемые функции
Элементы функционального анализа
Метрические пространства. Полнота
Линейные нормированные пространства. Линейные функционалы и операторы
Простейшие задачи вариационного исчисления
Теория аналитических функций
Комплексные числа
Функции и функциональные ряды. Элементарные функции
Производная и интеграл
Интеграл Коши и его следствия
Ряд Лорана и изолированные особые точки однозначных аналитических функций
Вычеты и их предложения
Ответы