Патрушев А.А., Патрушева Е.В., Аминева Н.Н., Логинова Л.А. Обыкновенные дифференциальные уравнения: учебное пособие для самостоятельной работы студентов (практический курс)

Учебное пособие. — Челябинск: Южно-Уральский государственный университет (ЮУрГУ), 2014. — 126 с.Представленное учебное пособие предназначено для самостоятельного изучения курса «Дифференциальные уравнения» и раздела «Обыкновенные дифференциальные уравнения» из курса высшей математики студентами направления «Математика и механика», студентами технических направлений с целью качественного выполнения ими расчётно-графической работы по указанному разделу.
Пособие содержит задания расчётно-графической работы по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Изложение материала иллюстрируется подробно разобранными примерами. В пособие также включены задачи, снабжённые ответами, которые могут быть использованы студентами для самостоятельного решения, а также могут быть использованы преподавателями при проведении практических занятий по данному разделу.Введение.
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной.
Основные понятия и определения.
Понятие о дифференциальном уравнении первого порядка, разрешенном относительно производной.
Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка и его решения. Задача Коши.
Теорема Пикара (достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши). Понятие общего, частного и особого решения.
Огибающая семейства интегральных кривых как особое решение.
Методы решения дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных.
Уравнение с разделяющимися переменными.
Однородные дифференциальные уравнения и уравнения, сводящиеся к однородным.
Линейные дифференциальные уравнения.
Уравнение Бернулли.
Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешённые относительно производной.
Основные понятия и определения.
Понятие об уравнении первого порядка, не разрешенном относительно производной.
Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения, не разрешённого относительно производной. Задача Коши.
Некоторые методы решения дифференциальных уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производных.
Уравнения первого порядка n-ой степени.
Уравнения, допускающие параметрическое представление. Уравнение Лагранжа. Уравнение Клеро.
Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков.
Основные понятия и определения.
Предварительные замечания.
Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши. Понятие общего и частного решения.
Дифференциальные уравнения, допускающие понижения порядка
Дифференциальные уравнения, содержащие только независимую переменную и производную порядка n.
Дифференциальное уравнение, не содержащее искомой функции, и уравнение, не содержащее искомой функции и последовательных начальных производных.
Дифференциальное уравнение, не содержащее независимой переменной.
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
Основные понятия и определения.
Действительные и комплексные решения линейного однородного уравнения.
Фундаментальная система решений и определитель Вронского.
Построение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.
Интегрирование линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.
Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.
Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных).
Метод вариации произвольных постоянных для линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.
Метод вариации произвольных постоянных для линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.
Интегрирование линейных дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами методом Эйлера.
Интегрирование однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Интегрирование однородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Интегрирование линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида.
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Основные понятия и определения.
Понятие о нормальной системе. Линейная система.
Теорема Пикара (достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши).
Интегрирование нормальной системы дифференциальных уравнений.
Системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Ответы.
Приложения (расчетно-графические работы).
Заключение.
Библиографический список.