Фельдман Н.И. Седьмая проблема Гильберта

М.: Изд-во МГУ, 1982. — 312 с.В монографии излагаются история решения седьмой проблемы Гильберта и основные результаты, полученные с помощью методов, примененных для ее решения. Значительная часть книги посвящена изложению найденного в 1966 г. А. Бейкером усиления метода А. О. Гельфонда и полученным в связи с этим эффективным решением ряда задач теории чисел. Большая часть приведенных в книге результатов на русском языке публикуется впервые.
Для научных работников, аспирантов и студентов, специализирующихся по теории чисел.Предисловие.
Обозначения.
Введение Проблема Эйлера-Гильберта.
Первые шаги теории трансцендентных чисел.
Предварительные замечания.
Иррациональность числа корень квадратный из 2.
Первые доказательства иррациональности чисел е и пи.
Теорема Лиувилля.
Теорема Дирихле.
Обобщения теоремы Дирихле.
Теорема Эрмита Предварительные замечания.
Доказательство теоремы Эрмита.
Теорема Линдемана.
Следствия теоремы Линдемана.
Дальнейшее развитие метода Эрмита.
Количественные результаты.
Замечания.
Частичное решение седьмой проблемы Гильберта.
Алгебраические значения функций.
Ряд Ньютона.
Теорема Полиа.
Вспомогательные утверждения.
Теорема Гельфонда.
Дальнейшие сведения о решетках.
Теорема Кузьмина.
Замечания.
Дальнейшие применения первого метода Гельфонда.
Теорема Зигеля.
Еще одно доказательство теоремы Линдемана.
Иррациональность некоторых бесконечных произведений.
Замечания.
Решение седьмой проблемы Гильберта Доказательство Гельфонда.
Вспомогательные утверждения.
Теорема Гельфонда.
Второй метод Гельфонда.
Замечания.
Решение седьмой проблемы Гильберта Доказательство Шнейдера.
Вспомогательные утверждения.
Теорема Шнейдера.
Метод Шнейдера.
Замечания.
Арифметические свойства эллиптических функций Теоремы Шнейдера.
Вспомогательные утверждения.
Первая основная теорема.
Следствия первой основной теоремы.
Вторая и третья основные теоремы.
Следствия второй и третьей основных теорем.
Замечания.
Применение второго метода Гельфонда для вывода оценок мер трансцендентности некоторых чисел.
Мера трансцендентности и приближение числа алгебраическими числами.
Формула Эрмита.
Меры трансцендентности чисел log a/log в а в степени в.
Мера трансцендентности числа пи.
Мера трансцендентности числа log a.
Замечания.
Приложения оценок линейных форм с двумя логарифмами.
Эффективизация одного частого случая теоремы Туэ.
Мнимые квадратичные поля с одним классом идеалов.
Замечания.
Метод Гельфонда для доказательства алгебраической независимости чисел.
Предварительные соображения.
Вспомогательные утверждения.
Теоремы Гельфонда.
Лемма Тайдемана.
Решение одной задачи Шнейдера.
Мера трансцендентности и алгебраическая независимость.
Замечания.
Линейные формы с несколькими логарифмами.
Трансцендентность числа.
Метод Бейкера.
Первые неравенства Бейкера.
Оценка, степенная относительно L(бета).
Исследование одного определителя.
Специальная форма оценки линейной формы от логарифмов.
Оценки, учитывающие каждую из длин чисел альфа.
Вспомогательные утверждения.
Усиление теоремы 8.10.
Замечания.
Приложения оценок линейных форм от нескольких логарифмов.
Предварительные сведения.
Эффективизация теоремы Туэ.
Обобщение теоремы.
Диофантово уравнение.
Уравнение Каталана.
Мнимые квадратичные поля с одним и двумя классами идеалов.
Замечания.
Дополнение.
Эллиптическая функция Вейерштрасса.
Периоды мераморфных функций.
Эллиптические функции.
дзета-функция Beйeрштрасса.
функция Вейерштрасса.