Манин Ю.И., Панчишкин А.А. Введение в современную теорию чисел

Учебное пособие. — М.: МЦНМО, 2009. — 550 с.: ил. — ISBN: 978-5-94057-511-5.Предлагаемая читателю книга — это переработанная и дополненная версия книги «Теория чисел I. Введение в теорию чисел» Ю. И.Манина и А. А. Панчишкина (Москва, ВИНИТИ, 1989), и её английского перевода (Encyclopeadia of Mathematical Sciences, v. 49, Springer-Verlag, 1995). Книга состоит из вводных глав к различным разделам теории чисел. Все главы объединены общей концепцией: вместе с читателем пройти от наглядных примеров теоретико-числовых объектов и задач, через общие понятия и теории, развитые на протяжении долгого времени, к некоторым новейшим достижениям и видениям современной математики и наброскам для дальнейших исследований. Новые разделы, написанные для данного издания, включают в себя сжатое изложение доказательства Уайлса большой теоремы Ферма, недавно открытый полиномиальный алгоритм проверки на простоту числа, обзор счёта рациональных точек на многообразиях и другие сюжеты; заключительная часть книги посвящена арифметическим когомологиям и некоммутативной геометрии.Задачи и приемыЭлементарная теория чисел
Задачи о целых числах. Делимость и простота
Диофантовы уравнения первой и второй степени
Кубические уравнения
Задачи о континууме: приближения и непрерывные дроби
Диофантовы приближения иррациональных чисел
Диофантовы приближения и иррациональностьНекоторые приложения элементарной теории чисел
Разложение и кодирование с открытым ключом
Детерминированные проверки на простоту
Разложение больших чисел на множителиИдеи и теорииИндукция и рекурсия
Элементарная теория чисел с точки зрения логики
Диофантовы множества
Частично рекурсивные функции и перечислимые множества
Диофантовы множества и алгоритмическая неразрешимостьАрифметика алгебраических чисел
Алгебраические числа: реализации и геометрия
Разложение простых идеалов, дедекиндовы кольца и нормирования
Локальные и глобальные методы
Теория полей классов
Группа Галуа в арифметических задачахАрифметика алгебраических многообразий
Арифметические многообразия: схемы конечного типа над кольцом целых чисел
Геометрические методы изучения диофантовых уравнений
Эллиптические кривые, абелевы многообразия и линейные группы
Диофантовы уравнения и представления Галуа
Теорема Фальтингса и проблемы конечности в диофантовой геометрииДзета-функции и модулярные формы
Дзета-функции арифметических схем
L-функции, теория Тэйта и явные формулы
Модулярные формы и эйлеровы произведения
Модулярные формы и представления Галуа
Автоморфные формы и программа ЛенглендсаБольшая теорема Ферма и семейства модулярных форм
Гипотеза Шимуры—Таниямы—Вейля и высшие законы взаимности
Теорема Ленглендса—Туннелла и модулярность по модулю 3
Модулярность представлений Галуа и универсальные кольца деформаций
Основная теорема Уайлса и критерии изоморфизма локальных колец
Шаг индукции по Уайлсу: применение критериев и когомологии Галуа
Относительный инвариант, основное неравенство и минимальный случай
Окончание доказательства Уайлса и теорема об абсолютной неприводимостиАналогии и вѝденияВводный очерк части III: мотивировки и общее описание
Аналогии и различия между числами и функциями: точка на бесконечности, архимедовы свойства и т.д.
Геометрия Аракелова, слой над бесконечностью, циклы и функции Грина (по Жилле—Суле)
Теория ζ-функций, локальные множители для ∞, Г-множители Серра и общее описание дзета-функций, как определителей арифметических Фробениусов: программа Денингера
Предположение, что недостающие геометрические объекты — некоммутативные пространстваГеометрия Аракелова и некоммутативная геометрия (по К. Конзани и М. Марколли)
Униформизация Шоттки и геометрия Аракелова
Когомологические конструкции, архимедов оператор Фробениуса и регуляризованные определители
Спектральные тройки, динамика и дзета-функции
Редукция по модулю ∞